Enoncé

Exercice 1 :

Calculer les limites suivantes :

1. $$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{3x^{2}-x+2}{x^{2}+x+1} $$
2. $$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-5}-2}{x-3} $$
3. $$\lim_{x \rightarrow 1+}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$$
4. $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos(x)-1-xsin(4x)}{x^{2}} $$
5. $$\lim_{x \rightarrow -\infty}{\sqrt{3x^2+4}+x} $$
6. $$\lim_{x \rightarrow +\infty}{\sqrt{x^2+3}-x} $$
7. $$ \lim_{x \rightarrow +\infty}{\sqrt{x^2+x+5}-x-1} $$

Exercice 2 :

Quel est l’ensemble de définition $$D$$ de la fonction définie par : $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x^2+x-1}}$$ ?

Exercice 3 :

Quelle doit être la valeur de  $$a \in R$$ pour que la fonction $$f$$ soit continue en 0 ?

sachant que $$f$$ est définie comme suit :

$$\begin{cases}f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{tan(x)} & x \neq 0\\f(0)=a\end{cases}$$

Exercice 4 :

Montrer que la fonction $$f$$ suivante définie sur $$R$$ est continue en 0 :

$$\begin{cases}f(x)=\frac{1-\sqrt{x^{2}+1}}{x} & x \neq 0\\f(0)=0\end{cases}$$

 

Exercice 5 :

Montrer que la fonction $$f$$ définie sur $$R$$ par :

$$\begin{cases}f(x)=\frac{2x+1}{5-2x} & x \leq 2\\f(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x-2} & x \geq 2 \end{cases}$$

est continue en $$2$$.

Exercice 6:

Etudier la continuité de $$f$$ sur $$I$$ dans chacune des situations :

• $$f(x)= 3x^{3}-x^{2}+1$$ avec $$I=[0;2]$$
• $$f(x)=sin(x)$$ avec $$I=[\pi/2;2\pi]$$
• $$f(x)=\frac{2x-3}{x^{2}+2x+4}$$ avec $$I=]-4;+\infty]$$
• $$f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}$$ avec $$I=R$$
• $$f(x)=cos{4x^{2}+x+5}$$ avec $$I=R$$

Exercice 7:

Soient dans chaque situation l’intervalle $$I$$ et la fonction continue $$f$$. Déterminer dans chaque cas $$f(I)$$ :

1. $$f:x \mapsto 3x-1$$ et $$I=[-3;2[$$.
2. $$f:x \mapsto \frac{x-1}{x^{2}+1}$$ et $$I=]-\infty;0]$$.
3. $$f:x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{x-1}$$ et $$I=]1;+\infty[$$.

Exercice 8:

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$R$$ par $$f(x)=x^{3}+x-1$$.

1. Montrer que l’équation $$f(x)=0$$ admet une seule solution $$\alpha$$ sur $$R$$.
2. Montrer que $$\alpha \in ]0;1[ $$

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$]1;+\infty[$$ par $$f(x)=\frac{1}{x-1}-\sqrt{x}$$

1. Montrer que l’équation $$f(x)=0$$ admet une seule solution $$\alpha$$ telle que $$ 1<\alpha<2 $$

Exercice 10:

soit $$f$$ la fonction definie sur [1;+\infty[ par : $$f(x)=x+4-\frac{3}{x}-\frac{2}{x^{2}}$$

1) Montrer que la fonction $$f$$ admet une fonction reciproque definie sur un intervalle $$J$$ que l’on determinera.

2) Calculer $$f^{-1}(4)$$ (Remarque : $$ x^{3}-3x-2=(x+1)(x^{2}-x-2)) $$

Exercice 11 :

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$I=]-\infty;-1]$$ par : $$f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}$$

1. Montrer que $$f$$ est continue sur $$I$$
2. a) Montrer que $$\forall x \in I$$, $$ f'(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} $$
   b) Donner le tableau de variations de $$f$$.
3. En déduire que $$f$$ admet une fonction réciproque sur un intervalle $$J$$ à déterminer.